1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Single partial differential equations . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2. Systems of partial differential equations . . . . . . . . 6
1.3. Strategies for studying PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1. Well-posed problems, classical solutions . . . . . . . . 7
1.3.2. Weak solutions and regularity . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3. Typical difficulties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4. Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PART I: REPRESENTATION FORMULAS FOR SOLUTIONS
2. Four Important Linear PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1. Transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1. Initial-value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2. Nonhomogeneous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Laplace’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
vii
viii CONTENTS
2.2.1. Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Mean-value formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3. Properties of harmonic functions . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.4. Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.5. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3. Heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.1. Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3.2. Mean-value formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.3. Properties of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.4. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4. Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.1. Solution by spherical means . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4.2. Nonhomogeneous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.3. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3. Nonlinear First-Order PDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1. Complete integrals, envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.1. Complete integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.1.2. New solutions from envelopes . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2. Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.1. Derivation of characteristic ODE . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.2. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2.3. Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.2.4. Local solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3. Introduction to Hamilton–Jacobi equations . . . . . . . . 114
3.3.1. Calculus of variations, Hamilton’s ODE . . . . . . 115
3.3.2. Legendre transform, Hopf–Lax formula . . . . . . . 120
3.3.3. Weak solutions, uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4. Introduction to conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.1. Shocks, entropy condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4.2. Lax–Oleinik formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4.3. Weak solutions, uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 148
CONTENTS ix
3.4.4. Riemann’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.4.5. Long time behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4. Other Ways to Represent Solutions . . . . . . . . . . . . . . 167
4.1. Separation of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.1.1. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
4.1.2. Application: Turing instability . . . . . . . . . . . . . 172
4.2. Similarity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2.1. Plane and traveling waves, solitons . . . . . . . . . . 176
4.2.2. Similarity under scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.3. Transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3.1. Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3.2. Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.3.3. Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.4. Converting nonlinear into linear PDE . . . . . . . . . . . . 206
4.4.1. Cole–Hopf transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.4.2. Potential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.4.3. Hodograph and Legendre transforms . . . . . . . . . 209
4.5. Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.5.1. Singular perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.5.2. Laplace’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.5.3. Geometric optics, stationary phase . . . . . . . . . . 218
4.5.4. Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.6. Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.6.1. Noncharacteristic surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.6.2. Real analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.6.3. Cauchy–Kovalevskaya Theorem . . . . . . . . . . . . . 239
4.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
PART II: THEORY FOR LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
5. Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
5.1. H¨older spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
x CONTENTS
5.2. Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.2.1. Weak derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.2.2. Definition of Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.2.3. Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.3. Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.3.1. Interior approximation by smooth functions . . . 264
5.3.2. Approximation by smooth functions . . . . . . . . . 265
5.3.3. Global approximation by smooth functions . . . . 266
5.4. Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.5. Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.6. Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.6.1. Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality . . . . . . 276
5.6.2. Morrey’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.6.3. General Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.7. Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.8. Additional topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.8.1. Poincar´e’s inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.8.2. Difference quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.8.3. Differentiability a.e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.8.4. Hardy’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.8.5. Fourier transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.9. Other spaces of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.9.1. The space H-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.9.2. Spaces involving time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.10. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.11. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
6. Second-Order Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.1.1. Elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
6.1.2. Weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
6.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.2.1. Lax–Milgram Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.2.2. Energy estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.2.3. Fredholm alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
CONTENTS xi
6.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.3.1. Interior regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.2. Boundary regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.4. Maximum principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
6.4.1. Weak maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
6.4.2. Strong maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.4.3. Harnack’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.5. Eigenvalues and eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
6.5.1. Eigenvalues of symmetric elliptic operators . . . . 354
6.5.2. Eigenvalues of nonsymmetric elliptic operators . 360
6.6. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
6.7. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7. Linear Evolution Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.1. Second-order parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
7.1.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7.1.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.1.4. Maximum principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
7.2. Second-order hyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.2.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
7.2.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.2.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
7.2.4. Propagation of disturbances . . . . . . . . . . . . . . . 414
7.2.5. Equations in two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
7.3. Hyperbolic systems of first-order equations . . . . . . . . 421
7.3.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
7.3.2. Symmetric hyperbolic systems . . . . . . . . . . . . . . 423
7.3.3. Systems with constant coefficients . . . . . . . . . . . 429
7.4. Semigroup theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
7.4.1. Definitions, elementary properties . . . . . . . . . . . 434
7.4.2. Generating contraction semigroups . . . . . . . . . . 439
7.4.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
7.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
xii CONTENTS
PART III: THEORY FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
8. The Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
8.1.1. Basic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
8.1.2. First variation, Euler–Lagrange equation . . . . . 454
8.1.3. Second variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
8.1.4. Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
8.2. Existence of minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
8.2.1. Coercivity, lower semicontinuity . . . . . . . . . . . . 465
8.2.2. Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
8.2.3. Weak solutions of Euler–Lagrange equation . . . 472
8.2.4. Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
8.2.5. Local minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
8.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
8.3.1. Second derivative estimates . . . . . . . . . . . . . . . . 483
8.3.2. Remarks on higher regularity . . . . . . . . . . . . . . 486
8.4. Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
8.4.1. Nonlinear eigenvalue problems . . . . . . . . . . . . . . 488
8.4.2. Unilateral constraints, variational inequalities . 492
8.4.3. Harmonic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
8.4.4. Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
8.5. Critical points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
8.5.1. Mountain Pass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
8.5.2. Application to semilinear elliptic PDE . . . . . . . 507
8.6. Invariance, Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
8.6.1. Invariant variational problems . . . . . . . . . . . . . . 512
8.6.2. Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
8.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
8.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
9. Nonvariational Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
9.1. Monotonicity methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
9.2. Fixed point methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
9.2.1. Banach’s Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . 534
CONTENTS xiii
9.2.2. Schauder’s, Schaefer’s Fixed Point Theorems . . 538
9.3. Method of subsolutions and supersolutions . . . . . . . . 543
9.4. Nonexistence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
9.4.1. Blow-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
9.4.2. Derrick–Pohozaev identity . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
9.5. Geometric properties of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 554
9.5.1. Star-shaped level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
9.5.2. Radial symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
9.6. Gradient flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
9.6.1. Convex functions on Hilbert spaces . . . . . . . . . . 560
9.6.2. Subdifferentials and nonlinear semigroups . . . . 565
9.6.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
9.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
9.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
10. Hamilton–Jacobi Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
10.1. Introduction, viscosity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 579
10.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
10.1.2. Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
10.2. Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
10.3. Control theory, dynamic programming . . . . . . . . . . . 590
10.3.1. Introduction to optimal control theory . . . . . . 591
10.3.2. Dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
10.3.3. Hamilton–Jacobi–Bellman equation . . . . . . . . . 594
10.3.4. Hopf–Lax formula revisited . . . . . . . . . . . . . . . 600
10.4. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603
10.5. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
11. Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
11.1.1. Integral solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
11.1.2. Traveling waves, hyperbolic systems . . . . . . . . 615
11.2. Riemann’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
11.2.1. Simple waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
11.2.2. Rarefaction waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
11.2.3. Shock waves, contact discontinuities . . . . . . . . 625
xiv CONTENTS
11.2.4. Local solution of Riemann’s problem . . . . . . . . 632
11.3. Systems of two conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . 635
11.3.1. Riemann invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
11.3.2. Nonexistence of smooth solutions . . . . . . . . . . 639
11.4. Entropy criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
11.4.1. Vanishing viscosity, traveling waves . . . . . . . . . 642
11.4.2. Entropy/entropy-flux pairs . . . . . . . . . . . . . . . 646
11.4.3. Uniqueness for scalar conservation laws . . . . . 649
11.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
11.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
12. Nonlinear Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
12.1.1. Conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
12.1.2. Finite propagation speed . . . . . . . . . . . . . . . . . 660
12.2. Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
12.2.1. Lipschitz nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
12.2.2. Short time existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666
12.3. Semilinear wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
12.3.1. Sign conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670
12.3.2. Three space dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
12.3.3. Subcritical power nonlinearities . . . . . . . . . . . . 676
12.4. Critical power nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679
12.5. Nonexistence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686
12.5.1. Nonexistence for negative energy . . . . . . . . . . . 687
12.5.2. Nonexistence for small initial data . . . . . . . . . 689
12.6. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
12.7. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696
APPENDICES
Appendix A: Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.1. Notation for matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697
A.2. Geometric notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698
A.3. Notation for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699
A.4. Vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
A.5. Notation for estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
CONTENTS xv
A.6. Some comments about notation . . . . . . . . . . . . . . . . 704
Appendix B: Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
B.1. Convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
B.2. Useful inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706
Appendix C: Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
C.1. Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
C.2. Gauss–Green Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
C.3. Polar coordinates, coarea formula . . . . . . . . . . . . . . . 712
C.4. Moving regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
C.5. Convolution and smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
C.6. Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
C.7. Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
C.8. Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
Appendix D: Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
D.1. Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
D.2. Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720
D.3. Bounded linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721
D.4. Weak convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
D.5. Compact operators, Fredholm theory . . . . . . . . . . . . 724
D.6. Symmetric operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728
Appendix E: Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
E.1. Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729
E.2. Measurable functions and integration . . . . . . . . . . . . 730
E.3. Convergence theorems for integrals . . . . . . . . . . . . . . 731
E.4. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732
E.5. Banach space-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733