000			22108nam a22001697a 4500
005			20240613155755.0
008			240613b |||||||| |||| 00| 0 eng d
020			_a9781470414979
082			_a515.353 _bEVA
100			_aEvans, L. C
245			_aPartial differential equations _cLawrence C.Evans
250			_a2
260			_aRhode Island : _bAmerican Mathematical Society, _c2010.
300			_a xxi, 749 p. ;
505			_t1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1. Partial differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1. Single partial differential equations . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2. Systems of partial differential equations . . . . . . . . 6 1.3. Strategies for studying PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1. Well-posed problems, classical solutions . . . . . . . . 7 1.3.2. Weak solutions and regularity . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3. Typical difficulties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 PART I: REPRESENTATION FORMULAS FOR SOLUTIONS 2. Four Important Linear PDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Transport equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Initial-value problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Nonhomogeneous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Laplace’s equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 vii viii CONTENTS 2.2.1. Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2.2. Mean-value formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.3. Properties of harmonic functions . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.4. Green’s function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.5. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3. Heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.1. Fundamental solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.2. Mean-value formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.3. Properties of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.4. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4. Wave equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.1. Solution by spherical means . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4.2. Nonhomogeneous problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.4.3. Energy methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3. Nonlinear First-Order PDE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1. Complete integrals, envelopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.1. Complete integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.2. New solutions from envelopes . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2. Characteristics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.1. Derivation of characteristic ODE . . . . . . . . . . . . . 96 3.2.2. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2.3. Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.4. Local solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.2.5. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3. Introduction to Hamilton–Jacobi equations . . . . . . . . 114 3.3.1. Calculus of variations, Hamilton’s ODE . . . . . . 115 3.3.2. Legendre transform, Hopf–Lax formula . . . . . . . 120 3.3.3. Weak solutions, uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.4. Introduction to conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.4.1. Shocks, entropy condition . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 3.4.2. Lax–Oleinik formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 3.4.3. Weak solutions, uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . 148 CONTENTS ix 3.4.4. Riemann’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 3.4.5. Long time behavior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 3.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4. Other Ways to Represent Solutions . . . . . . . . . . . . . . 167 4.1. Separation of variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 4.1.1. Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.1.2. Application: Turing instability . . . . . . . . . . . . . 172 4.2. Similarity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.2.1. Plane and traveling waves, solitons . . . . . . . . . . 176 4.2.2. Similarity under scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 4.3. Transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.3.1. Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 4.3.2. Radon transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 4.3.3. Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.4. Converting nonlinear into linear PDE . . . . . . . . . . . . 206 4.4.1. Cole–Hopf transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.4.2. Potential functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.4.3. Hodograph and Legendre transforms . . . . . . . . . 209 4.5. Asymptotics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.5.1. Singular perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.5.2. Laplace’s method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 4.5.3. Geometric optics, stationary phase . . . . . . . . . . 218 4.5.4. Homogenization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4.6. Power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4.6.1. Noncharacteristic surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 4.6.2. Real analytic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.6.3. Cauchy–Kovalevskaya Theorem . . . . . . . . . . . . . 239 4.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 4.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 PART II: THEORY FOR LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 5. Sobolev Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 5.1. H¨older spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 x CONTENTS 5.2. Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 5.2.1. Weak derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 5.2.2. Definition of Sobolev spaces . . . . . . . . . . . . . . . 258 5.2.3. Elementary properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 5.3. Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 5.3.1. Interior approximation by smooth functions . . . 264 5.3.2. Approximation by smooth functions . . . . . . . . . 265 5.3.3. Global approximation by smooth functions . . . . 266 5.4. Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 5.5. Traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.6. Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 5.6.1. Gagliardo–Nirenberg–Sobolev inequality . . . . . . 276 5.6.2. Morrey’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 5.6.3. General Sobolev inequalities . . . . . . . . . . . . . . . 284 5.7. Compactness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5.8. Additional topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 5.8.1. Poincar´e’s inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 5.8.2. Difference quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 5.8.3. Differentiability a.e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 5.8.4. Hardy’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 5.8.5. Fourier transform methods . . . . . . . . . . . . . . . . 297 5.9. Other spaces of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 5.9.1. The space H-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 5.9.2. Spaces involving time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 5.10. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5.11. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 6. Second-Order Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 6.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 6.1.1. Elliptic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 6.1.2. Weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 6.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 6.2.1. Lax–Milgram Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 6.2.2. Energy estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 6.2.3. Fredholm alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 CONTENTS xi 6.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 6.3.1. Interior regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 6.3.2. Boundary regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 6.4. Maximum principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 6.4.1. Weak maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 6.4.2. Strong maximum principle . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 6.4.3. Harnack’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 6.5. Eigenvalues and eigenfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 6.5.1. Eigenvalues of symmetric elliptic operators . . . . 354 6.5.2. Eigenvalues of nonsymmetric elliptic operators . 360 6.6. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 6.7. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 7. Linear Evolution Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 7.1. Second-order parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . 371 7.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 7.1.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 375 7.1.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 7.1.4. Maximum principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 7.2. Second-order hyperbolic equations . . . . . . . . . . . . . . . 398 7.2.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 7.2.2. Existence of weak solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 401 7.2.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 7.2.4. Propagation of disturbances . . . . . . . . . . . . . . . 414 7.2.5. Equations in two variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 7.3. Hyperbolic systems of first-order equations . . . . . . . . 421 7.3.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 7.3.2. Symmetric hyperbolic systems . . . . . . . . . . . . . . 423 7.3.3. Systems with constant coefficients . . . . . . . . . . . 429 7.4. Semigroup theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 7.4.1. Definitions, elementary properties . . . . . . . . . . . 434 7.4.2. Generating contraction semigroups . . . . . . . . . . 439 7.4.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 7.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 7.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 xii CONTENTS PART III: THEORY FOR NONLINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS 8. The Calculus of Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 8.1.1. Basic ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 8.1.2. First variation, Euler–Lagrange equation . . . . . 454 8.1.3. Second variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458 8.1.4. Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 8.2. Existence of minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 8.2.1. Coercivity, lower semicontinuity . . . . . . . . . . . . 465 8.2.2. Convexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467 8.2.3. Weak solutions of Euler–Lagrange equation . . . 472 8.2.4. Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 8.2.5. Local minimizers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 8.3. Regularity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482 8.3.1. Second derivative estimates . . . . . . . . . . . . . . . . 483 8.3.2. Remarks on higher regularity . . . . . . . . . . . . . . 486 8.4. Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488 8.4.1. Nonlinear eigenvalue problems . . . . . . . . . . . . . . 488 8.4.2. Unilateral constraints, variational inequalities . 492 8.4.3. Harmonic maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 8.4.4. Incompressibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 8.5. Critical points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 8.5.1. Mountain Pass Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 8.5.2. Application to semilinear elliptic PDE . . . . . . . 507 8.6. Invariance, Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 8.6.1. Invariant variational problems . . . . . . . . . . . . . . 512 8.6.2. Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513 8.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520 8.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 9. Nonvariational Techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 9.1. Monotonicity methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 9.2. Fixed point methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 9.2.1. Banach’s Fixed Point Theorem . . . . . . . . . . . . . 534 CONTENTS xiii 9.2.2. Schauder’s, Schaefer’s Fixed Point Theorems . . 538 9.3. Method of subsolutions and supersolutions . . . . . . . . 543 9.4. Nonexistence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 9.4.1. Blow-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 9.4.2. Derrick–Pohozaev identity . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 9.5. Geometric properties of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 554 9.5.1. Star-shaped level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 9.5.2. Radial symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 9.6. Gradient flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560 9.6.1. Convex functions on Hilbert spaces . . . . . . . . . . 560 9.6.2. Subdifferentials and nonlinear semigroups . . . . 565 9.6.3. Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 9.7. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573 9.8. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 10. Hamilton–Jacobi Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 10.1. Introduction, viscosity solutions . . . . . . . . . . . . . . . . 579 10.1.1. Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10.1.2. Consistency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 10.2. Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 10.3. Control theory, dynamic programming . . . . . . . . . . . 590 10.3.1. Introduction to optimal control theory . . . . . . 591 10.3.2. Dynamic programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 10.3.3. Hamilton–Jacobi–Bellman equation . . . . . . . . . 594 10.3.4. Hopf–Lax formula revisited . . . . . . . . . . . . . . . 600 10.4. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 10.5. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606 11. Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 11.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 11.1.1. Integral solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 11.1.2. Traveling waves, hyperbolic systems . . . . . . . . 615 11.2. Riemann’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 11.2.1. Simple waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 11.2.2. Rarefaction waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 11.2.3. Shock waves, contact discontinuities . . . . . . . . 625 xiv CONTENTS 11.2.4. Local solution of Riemann’s problem . . . . . . . . 632 11.3. Systems of two conservation laws . . . . . . . . . . . . . . . 635 11.3.1. Riemann invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 11.3.2. Nonexistence of smooth solutions . . . . . . . . . . 639 11.4. Entropy criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 11.4.1. Vanishing viscosity, traveling waves . . . . . . . . . 642 11.4.2. Entropy/entropy-flux pairs . . . . . . . . . . . . . . . 646 11.4.3. Uniqueness for scalar conservation laws . . . . . 649 11.5. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 11.6. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 12. Nonlinear Wave Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 12.1.1. Conservation of energy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 12.1.2. Finite propagation speed . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 12.2. Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 12.2.1. Lipschitz nonlinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663 12.2.2. Short time existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 12.3. Semilinear wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670 12.3.1. Sign conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 670 12.3.2. Three space dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674 12.3.3. Subcritical power nonlinearities . . . . . . . . . . . . 676 12.4. Critical power nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 12.5. Nonexistence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 12.5.1. Nonexistence for negative energy . . . . . . . . . . . 687 12.5.2. Nonexistence for small initial data . . . . . . . . . 689 12.6. Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691 12.7. References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 APPENDICES Appendix A: Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 A.1. Notation for matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697 A.2. Geometric notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 698 A.3. Notation for functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 A.4. Vector-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 A.5. Notation for estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 CONTENTS xv A.6. Some comments about notation . . . . . . . . . . . . . . . . 704 Appendix B: Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 B.1. Convex functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705 B.2. Useful inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706 Appendix C: Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 C.1. Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710 C.2. Gauss–Green Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 C.3. Polar coordinates, coarea formula . . . . . . . . . . . . . . . 712 C.4. Moving regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 C.5. Convolution and smoothing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 C.6. Inverse Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 C.7. Implicit Function Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 C.8. Uniform convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 Appendix D: Functional Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 D.1. Banach spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719 D.2. Hilbert spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 720 D.3. Bounded linear operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721 D.4. Weak convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 D.5. Compact operators, Fredholm theory . . . . . . . . . . . . 724 D.6. Symmetric operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 Appendix E: Measure Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 E.1. Lebesgue measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729 E.2. Measurable functions and integration . . . . . . . . . . . . 730 E.3. Convergence theorems for integrals . . . . . . . . . . . . . . 731 E.4. Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732 E.5. Banach space-valued functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733
942			_2ddc _cBK
999			_c2267 _d2267